В равносторонним треугольнике вписана окружность. Найдите ее радиус, если высота треугольника равна 18

Равносторонний (или правильный) треугольник - это треугольник, у которого все стороны и углы равны (углы по 60°).

1. Длина высоты правильного треугольника находится по формуле:

h = (a√3) / 2,

где a - длина стороны треугольника.

Подставим данные по условию значения и найдем длину стороны правильного треугольника:

(a√3) / 2 = 18;

a = (2 * 18) / √3 (по пропорции);

a = 36/√3.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

a = 36/√3 * √3/√3 = (36 * √3) / (√3 * √3) = (36√3) / (√3) ² = 36√3/3 = 12√3.

2. Длина радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник, находится по формуле:

r = (a√3) / 6.

Подставим известные значения и найдем длину радиуса вписанной окружности:

r = (12√3 * √3) / 6 = (12 * (√3) ²) / 6 = (12 * 3) / 6 = 36/6 = 6.

Ответ: r = 6.

Нам необходимо определить радиус окружности вписанной в равносторонний треугольник.

Рассмотрим, что является равносторонним треугольником

Равносторонний треугольник также называют правильным треугольником. Для такого треугольника справедливы следующие утверждения:

длины всех сторон данной фигуры равны между собой; все углы равностороннего треугольника составляют 60^о; высота опущенная из любого угла равностороннего треугольника также является медианой и биссектрисой; центры вписанной и описанной окружности данного треугольника совпадают. Найдем радиус вписанной окружности

Пусть нам дан правильный (равносторонний) треугольник в котором обозначим:

сторону как a; высоту как h; и радиус вписанной окружности как r соответственно.

Мы знаем, что для нахождения радиуса вписанной окружности равностороннего треугольника существует формула, которая имеет следующий вид:

r = a * (sqrt 3) / 6 (1)

sqrt - корень квадратный.

Но из условия задачи мы не знаем длину стороны равностороннего треугольника. Но, в свою очередь, нам известна длина высоты данного треугольника, которая соответственно составляет:

h = 18 см

Зная только высоту равностороннего треугольника мы можем определить длину стороны a. Для этого нам необходимо воспользоваться формулой для нахождения высоты, которая имеет следующий вид:

h = a * (sqrt 3) / 2

Выразим из данной формулы значение длины стороны равностороннего треугольника и получим, что:

a = h * 2 / sqrt 3

Подставим получившееся значение в формулу (1) и получим:

r = (h * 2 / sqrt 3) * (sqrt 3) / 6 = h * 2 / 6 * sqrt 3 / sqrt 3 = h / 3 = 18 / 3 = 6 см

Ответ: 6 см