В квадрат вписана окружность и около него описана окружность. Длина большей окружности равна 8 пи. Найдите площадь кольца и площадь квадрата.

Длина большей окружности известна по условию. Из формулы длины окружности найдём радиус описанной окружности:

C = 2πR → R = C / 2π = 8π / 2π = 4.

Находим площадь большого круга:

S _бол. = πR² = 16π.

Зная радиус описанной окружности, находим сторону квадрата:

R = a / √2 → a = R * √2 = 4√2.

Площадь квадрата равна:

S _кв. = a² = (4√2) ² = 32.

Радиус вписанной окружности равен:

r = a / 2 = 4√2 / 2 = 2√2.

Площадь меньшего круга равна:

S _мал. = πr² = 8π.

Площадь кольца равна:

S = S _бол. - S _мал. = 16π - 8π = 8π.

Ответ: площадь кольца равна 8π, площадь квадрата 32.