1. В треугольнике МPК, вписана окружность, О - её центр. Угол М равен 50 градусам, угол К равен 70 градусам. Вычислите градусные меры угла МОК, МОР, РОК. 2. В треугольнике МПК вписана окружность, О - её центр. А, B, С - точки касания. Известно, что ПМ = 5, PB = 6, КC = 4. Найти периметр треугольника МPК

1. Найдем градусную меру угла Р:

угол М + угол Р + угол К = 180 градусов (по теореме о сумме углов треугольника);

50 + угол Р + 70 = 180;

угол Р = 180 - 120;

угол Р = 60 градусов.

Из основных свойств касательных известно, что отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. То есть отрезки ОМ, ОК и ОР будут являться биссектрисами углов М, К и Р соответственно. Тогда:

угол КМО = угол РМО = угол М / 2 = 50/2 = 25 градусов;

угол МКО = угол РКО = угол К / 2 = 70/2 = 35 градусов;

угол МРО = угол КРО = угол Р / 2 = 60/2 = 30 градусов.

а) Рассмотрим треугольник МОК: угол КМО = 25 градусов, угол МКО = 35 градусов. По теореме о сумме углов треугольника:

угол КМО + угол МКО + угол МОК = 180 градусов;

25 + 35 + угол МОК = 180;

угол МОК = 180 - 60;

угол МОК = 120 градусов.

б) Рассмотрим треугольник РОК: угол РКО = 35 градусов, угол КРО = 30 градусов. По теореме о сумме углов треугольника:

угол РКО + угол КРО + угол РОК = 180 градусов;

35 + 30 + угол РОК = 180;

угол РОК = 180 - 65;

угол РОК = 115 градусов.

в) Рассмотрим треугольник МОР: угол РМО = 25 градусов, угол МРО = 30 градусов. По теореме о сумме углов треугольника:

угол РМО + угол МРО + угол МОР = 180 градусов;

25 + 30 + угол МОР = 180;

угол МОР = 180 - 55;

угол МОР = 125 градусов.

Ответ: угол МОК = 120 градусов, угол РОК = 115 градусов, угол МОР = 125 градусов.

2. Окружность касается стороны МР в точке А, стороны РК в точке В, стороны МК в точке С. МА = 5 см, РВ = 6 см, КС = 4 см.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны. Следовательно:

МА = МС = 5 см;

РА = РВ = 6 см;

КС = КВ = 4 см.

Найдем длину стороны МР:

МР = МА + РА;

МР = 5 + 6 = 11 (см).

Найдем длину стороны РК:

РК = РВ + КВ;

РК = 6 + 4 = 10 (см).

Найдем длину стороны МК:

МК = МС + КС;

МК = 5 + 4 = 9 (см).

Периметр треугольника МРК равен:

Р = МР + РК + МК;

Р = 11 + 10 + 9 = 30 (см).

Ответ: Р = 30 см.