В равнобедренном треугольнике АВС вписана окружность. ВС=8 см (основание). Периметр треугольника = 40 см. KLM-точки касания к окружности. точка K принадлежит АВ, L - АС, M-ВС. Найдите: BK и AK, Радиус окружности.

Question

Диана Булгакова

Геометрия

24 декабря, 21:09

В равнобедренном треугольнике АВС вписана окружность. ВС=8 см (основание). Периметр треугольника = 40 см. KLM-точки касания к окружности. точка K принадлежит АВ, L - АС, M-ВС. Найдите: BK и AK, Радиус окружности.

+1

Ответы (1)

Знаешь ответ на этот вопрос?

София Михайлова · Answer 1

Зная по условию периметр и основание равнобедренного треугольника, находим боковую сторону.

АВ = АС = (Р - ВС) / 2 = (40 - 8) / 2 = 16 (см).

Рассмотрим прямоугольные треугольники ВКО и ВМО. В них ВО - общая гипотенуза, ОК = ОМ (радиусы вписанной окружности), ∠КВО = ∠ МВО (ВО - биссектриса угла В), ∠ВКО = ∠ВМО = 90° (радиусы - перпендикуляры к касательным), следовательно и ∠ КОВ = ∠ МОВ. Делаем вывод, что треугольники равны.

ВК = ВМ = 1/2 * ВС = 4 (см).

АК = АВ - ВК = 16 - 4 = 12 (см).

По теореме Пифагора находим высоту АМ:

AM = √ (AB² - BM²) = √ (16² - 4²) = √240 = 4√15 (см).

Рассмотрим прямоугольные треугольники АМВ и АКО, они подобны (острый угол А - общий).

Запишем отношение сторон и найдём ОК - радиус вписанной окружности.

АК / АМ = ОК / ВМ;

ОК = АК * ВМ / АМ = 12 * 4 / 4√15 = 12/√15 (см).

Ответ: ВК = 4 см, АК = 12 см, радиус вписанной окружности 12/√15 см.