Отрезок AB-диаметр окружности, длина радиуса которой равна 5 см, а центром является точка O. Точка D лежит на окружности и угол AOD=120*. Вычислите площадь треугольника ADB и расстояние от точки D до прямой AB

Решение. Отрезок AB - диаметр окружности с центром в точке О, длина её радиуса R = 5 см. Точка D лежит на окружности и угол AOD = 120°. Рассмотрим равнобедренный треугольник АОD (АО = ОD = R), в нём ∠ ОАD = ∠ ОDА по свойству углов при основании в равнобедренном треугольнике. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то ∠ AOD + ∠ ОАD + ∠ ОDА = 180°;

120° + ∠ ОАD + ∠ ОАD = 180°; ∠ ОАD = 30°. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВD, в нём ∠ АDВ = 90° по свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр. Катет DВ лежит напротив угла ∠ ОАD = 30°, значит, DВ = АВ: 2; DВ = 5 см. ∠ АВD = 60° Чтобы найти площадь треугольника ADB, найдём его второй катет по теореме Пифагора: АВ² = АD² + ВD²; 10² = АD² + 5²; АD² = 10² - 5²; АD² = 75; АD = 5 ∙ (3^ (½)). Площадь треугольника S (ADB) = (AD ∙ DB) : 2; S (ADB) = (5 ∙ (3^ (½)) ∙ 5) : 2; S (ADB) = 12,5 ∙ (3^ (½)); S (ADB) ≈ 21,65 см². Опустим из точки D перпендикуляр DС к прямой АВ и найдём расстояние от точки D до прямой AB из треугольника СВD: СD = ВD ∙ sin 60°; СD = 5 ∙ (3^ (½)) : 2 = 2,5 ∙ (3^ (½)) ≈ 4,33 (см)

Ответ: S (ADB) ≈ 21,65 см²; СD ≈ 4,33 см.