Через точку A к окружности центром которой является точка O проведена касательная точка B точка касания отрезок оа пересекает окружность в точкке F угол AFB 120 градусов найти площадь треугольника AFB

√3 Площадь треугольника AFB можно найти, если из площади треугольника AOB вычесть площадь треугольника OBF.

AFB = AOB - OBF

Если точка B является касательной, то угол OBA = 90°.

Значит площадь прямоугольного треугольника OBA = AOB = 1/2 * OB * BA.

Треугольник OBF имеет две вершины, OB и OF, на окружности. Поскольку у окружности расстояние от любой точки до центра равны, то стороны треугольника OBF, а именно OB и OF, тоже равны. Это означает, что треугольник OBF равнобедренный.

Из условия задачи нам известно, что угол AFB = 120°, значит смежный угол BFO = 180 - 120° = 60°.

В равнобедренном треугольнике углы BFO и FBO должны быть равны, следовательно угол FBO тоже равен 60°.

Сумма углов треугольника должна быть равна 180 градусам.

Значит и угол равнобедренного треугольника BOF = 180 - угол BFO - угол FBO = 180 - 60 - 60 = 60°.

Треугольник, у которого все 3 угла равны называется равносторонним.

Следовательно все стороны треугольника BOF равны между собой, то есть BO = OF = FB.

Площадь треугольник BOF = 1/2 * sin (60°) * BO * OF = 1/2 * √3/2 * BO^2

Искомая площадь треугольника AFB = AOB - OBF

AFB = 1/2 * OB * BA - 1/2 * √3/2 * BO^2

Также учтем, что в прямоугольном треугольнике AOB нам известен угол AOB = 60°.

Значит тангенс tg (60°) = AB/BO = √3

AB = √3 * BO

Площадь AFB = 1/2 * BO * √3 * BO - 1/2 * √3/2 * BO^2 = 1/2 * BO^2 * (√3 - √3/2) = 1/2 * √3/2 * BO^2 = √3/4 * BO^2 = √3/4 * OF^2 = √3/4 * FB^2

Ответ: площадь треугольника AFB = √3/4 * FB^2