В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 15 см а катеты 9 см 12 см Найдите а) косинус большего острого угла б) сумму косинусов острых углов

Дано: прямоугольный треугольник АВС;

угол С = 90;

гипотенуза АВ = 15 сантиметров;

AC = 9 сантиметров;

ВС = 12 сантиметров.

Найти: а) косинус большего острого угла; б) сумму косинусов острых углов - ?

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС.

а) Напротив большей стороны лежит больший угол. Тогда угол А больше угла В.

Косинус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно:

cos А = АС/АВ;

cos А = 5/15;

cos А = 1/3.

б) cos В = ВС/АВ;

cos В = 12/15;

cos В = 4/5.

cos В + cos А = 1/3 + 4/5 = 5/15 + 12/15 = 17/15 = 1 2/15.

Ответ: а) cos А = 1/3; б) 1 2/15.

Будем решать данную задачу по следующей схеме:

используя теорему косинусов, найдем косинус большего острого угла данного прямоугольного треугольника; снова используя теорему косинусов, найдем косинус второго острого угла этого прямоугольного треугольника; зная, чему равны косинусы двух острых углов этого прямоугольного треугольника, находим сумму этих косинусов.

Решение задачи.

Находим косинус большего острого угла данного прямоугольного треугольника

Известно, что в прямоугольном треугольнике больший катет лежит напротив большего острого угла, а меньший катет лежит напротив меньшего острого угла.

Согласно условию задачи, гипотенуза этого прямоугольного треугольника равна 15 см, а его катеты составляют 9 см и 12 см.

Следовательно, напортив большего острого угла данного прямоугольного треугольника лежит катет длиной 12 см.

Обозначим данный острый угол через α. Применяя теорему косинусов для угла α, получаем следующее соотношение:

9² + 15² - 2 * 9 * 15 * cos (α) = 12².

Находим из данного соотношения cos (α):

81 + 225 - 270 * cos (α) = 144;

306 - 270 * cos (α) = 144;

270 * cos (α) = 306 - 144:

270 * cos (α) = 162;

cos (α) = 162 / 270;

cos (α) = 3/5.

Находим косинус второго острого угла данного прямоугольного треугольника

Напортив второго острого угла данного прямоугольного треугольника лежит катет длиной 9 см.

Обозначим данный острый угол через β. Применяя теорему косинусов для угла β, получаем следующее соотношение:

12² + 15² - 2 * 12 * 15 * cos (β) = 9².

Находим из данного соотношения cos (β):

144 + 225 - 360 * cos (β) = 81;

369 - 360 * cos (β) = 81;

360 * cos (β) = 369 - 81;

360 * cos (β) = 288;

cos (β) = 288 / 360;

cos (β) = 4/5.

Находим сумму косинусов острых углов данного прямоугольного треугольника

cos (α) + cos (β) = 3/5 + 4/5 = 7/5.

Ответ: косинус большего острого угла данного прямоугольного треугольника равен 3/5, сумма косинусов острых углов данного прямоугольного треугольника равна 7/5.