В равнобедренном треугольнике с боковой стороной a и высотой h, проведенной к основанию, найдите длину вектора, совпадающего с медианой, проведенной к боковой стороне.

Пусть дан △ABC: AB = BC = a, BH = h - высота.

1. Из △AHB: ∠AHB = 90°, AH = AC/2 (так как BH - и высота, и медиана, и биссектриса) и BH = h - катеты, AB = a - гипотенуза.

По теореме Пифагора:

AH = √ (AB² - BH²) = √ (a² - h²).

2. AM - медиана, проведенная к боковой стороне.

AM и BH пересекаются в точке O.

Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1 начиная от вершины, тогда:

BO/HO = 2/1;

BO = 2 * HO.

Также:

BO + HO = BH;

2 * HO + HO = h;

3 * HO = h;

HO = h/3.

3. Из △AHO: ∠AHO = 90°, AH = √ (a² - h²) и HO = h/3 - катеты, AO - гипотенуза.

По теореме Пифагора:

AO = √ (AH² + HO²) = √ ((√ (a² - h²)) ² + (h/3) ²) = √ (a² - h² + h²/9) = √ ((9 * a² - 9 * h² + h²) / 9) = (√ (9 * a² - 8 * h²)) / 3.

4. Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1 начиная от вершины, тогда:

AO/MO = 2/1;

MO = AO/2;

MO = (√ (9 * a² - 8 * h²)) / 3 : 2 = (√ (9 * a² - 8 * h²)) / 3 * ½ = (√ (9 * a² - 8 * h²)) / 6.

5. Длина медианы AM равна:

AM = AO + MO = (√ (9 * a² - 8 * h²)) / 3 + (√ (9 * a² - 8 * h²)) / 6 = (2 * √ (9 * a² - 8 * h²) + √ (9 * a² - 8 * h²)) / 6 = (3 * √ (9 * a² - 8 * h²)) / 6 = √ (9 * a² - 8 * h²) / 2.

Ответ: AM = √ (9 * a² - 8 * h²) / 2.