В равнобедренном треугольнике с боковой стороной а и основанием b найдите длину вектора, совпадающего с медианой, проведенной к боковой стороне.

1. BH - и высота, и медиана, и биссектриса, проведенные к основанию, тогда:

AH = CH = AC/2 = b/2.

По теореме Пифагора:

BH = √ (AB² - AH²) = √ (a² - (b/2) ²) = √ (a² - b²/4) = √ ((4 * a² - b²) / 4) = (√4 * a² - b²) / 2.

2. AM и BH пересекаются в точке O.

Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1 начиная от вершины, тогда:

BO/HO = 2/1;

BO = 2 * HO.

Также:

BO + HO = BH;

2 * HO + HO = (√4 * a² - b²) / 2;

3 * HO = (√4 * a² - b²) / 2;

HO = (√4 * a² - b²) / 6.

3. Из AHO по теореме Пифагора:

AO = √ (AH² + HO²) = √ ((b/2) ² + ((√4 * a² - b²) / 6) ²) = √ (b²/4 + (4 * a² - b²) / 36) = √ ((9 * b² + 4 * a² - b²) / 36) = √ ((8 * b² + 4 * a²) / 36) = √ ((2 * b² + a²) / 9) = (√ (2 * b² + a²)) / 3.

4. Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1 начиная от вершины, тогда:

AO/MO = 2/1;

MO = AO/2;

MO = (√ (2 * b² + a²)) / 3 : 2 = (√ (2 * b² + a²)) / 6.

5. Длина медианы AM равна:

AM = AO + MO = (√ (2 * b² + a²)) / 3 + (√ (2 * b² + a²)) / 6 = (2 * √ (2 * b² + a²) + √ (2 * b² + a²)) / 6 = (3 * √ (2 * b² + a²)) / 6 = √ (2 * b² + a²) / 2.

Ответ: AM = √ (2 * b² + a²) / 2.