1. Сформулируйте признаки подобия треугольников. 2. Найдите отрезки, на которые биссектриса АД треугольника АВС делит сторону ВС, если АВ=6 см, ВС=7 см, АС=8 см. 3. Докажите, что медиана ВМ треугольника АВС делит пополам любой отрезок, параллельный АС, концы которого лежат на сторонах АВ и ВС.

1) Признаки подобия треугольников:

Первый: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.

Второй: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Третий: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

2) Дано : Δ АВС, АВ = 6 см, ВС = 7 см, АС = 8 см, АД - биссектриса. Найти ВД и СД.

Решение: биссектриса делит сторону на отрезки, пропорциональные прилегающим к этим отрезкам сторонам.

Пусть ВД = х см, тогда СД = 7-х см.

АВ / ВД = АС / СД или

6 / х = 8 / (7 - х).

6 (7 - х) = 8 х.

42 - 6 х = 8 х.

42 = 14 х.

х = 3.

ВД = 3 см, СД = 7 - 3 = 4 см.

3) Доказательство:

В треуг. AOF и AMC - угол A - общий.

Угол С = углу F (соответственные при EF ll MC), значит треуг. AOF~AMC (по двум углам).

OF / MC = AO / AM.

OF = (OA * MC) / AM.

В треуг. AOE и AMB - угол А - общий.

Угол В = углу Е (соответственные при ЕF ll BC).

AOB ~ AMB (по двум углам).

OE / BM = AO / AM.

OE = (AO * BM) / AM.

Сравним:

OF = (OA * MC) / AM; OE = (AO * BM) / AM.

т. к. MC = BM делаем вывод, что OF = OE.