Периметр равностороннего треугольника равен 108√3 найдите его высоту

Дано:

равносторонний треугольник АВС,

Р АВС = 108√3,

ВО - высота.

Найти длину высоты ВО - ?

Решение:

Рассмотрим равносторонний треугольник АВС. У него все стороны равны, то есть АВ = ВС = АС. Следовательно АВ = ВС = АС = 108√3 : 3 = 36√3.

Высота ВО является медианой и биссектрисой. Тогда АО = ОС = 1/2 * АС = 1/2 * 36√3 = 18√3.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВО.

По теореме Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):

АО^2 + ВО^2 = АВ^2 (выразим из данного равенства катет ВС^2);

ВО^2 = АВ^2 - АО^2;

ВО^2 = (36√3) ^2 - (18√3) ^2;

ВО^2 = 3888 - 972;

ВО^2 = 2916;

ВО = 54.

Ответ: 54.

Определения терминов

Равносторонний треугольник - правильный треугольник, у которого все стороны равны. У равностороннего треугольника все углы равны 60 градусам.

Высота треугольника - перпендикуляр, опущенный от вершины треугольника к противоположной стороне.

Перпендикуляр - отрезок, проведенный к противоположной стороне под углом 90 градусов.

Свойства высоты равностороннего треугольника

Известно, что высота треугольника делит его на 2 прямоугольных треугольника с основанием 90 градусов. Высота равностороннего треугольника является также его медианой, поэтому делит треугольник на 2 одинаковых прямоугольных треугольника, где боковые стороны являются гипотенузой, высота и половина основания - катетами.

Итак, зная периметр равностороннего треугольника, найдем его стороны.

Периметр любой фигуры равен сумме её сторон. В данном случае все 3 стороны равны, поэтому 1 сторона составляет:

108√3 / 3 = 36 √3;

Итак, гипотенуза прямоугольного треугольника равна 36 √3. Найдем первый катет, который составляет половину гипотенузы.

(36 √3) / 2 = 18 √3;

Теорема Пифагора

Далее осталось найти только второй катет треугольника.

Для этого вспомним теорему Пифагора:

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

a^2 + b^2 = c^2;

Отсюда:

a^2 = c^2 - b^2;

Итак, найдем второй катет:

a^2 = (36 √3) ^2 - (18 √3); a^2 = 1296 * 3 - 324 * 3; a^2 = 3888 - 972; a^2 = 2916; a = √2916 = 54.

Итак, катет прямоугольного треугольника, который одновременно является высотой равностороннего треугольника, равен 54.

Ответ: 54.