Боковая сторона АВ равнобедренного треугольника АВС равна 5 см, основание АС равно 6 см, центр вписанной окружности лежит на высоте ВН и удален от вершины В на 2,5 см. Найти радиус вписанной окружности.

Обозначим центр вписанной окружности О, тогда ВО=2,5 см, ОН - радиус вписанной окружности.

Высота ВН, проведенная к основанию АС, является одновременно медианой, значит делит основание пополам. Следовательно, АН=СН=АС/2=6/2=3 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВН: АВ - гипотенуза, АН и ВН - катеты.

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: АВ^2=AH^2+BH^2, отсюда BH^2=AB^2-AH^2=5^2-3^2=25-9=16, BH=√16=4.

ВН=ВО+ОН;

Радиус вписанной в треугольник АВС окружности равен: ОН=ВН-ВО=4-2,5=1,5 см.