Две стороны треугольника равны 6 и 8 см. Медианы, проведененные к этим сторонам, взаимно перпендикулярны. Найти третью сторону треугольника

Дан произвольный △ABC: AC = 6 см, BC = 8 см, AK и BM - медианы, пересекающиеся в точке О.

1. Длина медианы вычисляется по формуле:

m = (√ (2b² + 2c² - a²)) / 2,

где a - сторона треугольника, к которой проведена медиана, b и c - другие стороны треугольника.

Выразим длину медианы AK:

AK = (√ (2AB² + 2AC² - BC²)) / 2 = (√ (2AB² + 2*6² - 8²)) / 2 = (√ (2AB² + 2*36 - 64)) / 2 = (√ (2AB² + 72 - 64)) / 2 = (√ (2AB² + 8)) / 2.

Выразим длину медианы BM:

BM = (√ (2AB² + 2BC² - AC²)) / 2 = (√ (2AB² + 2*8² - 6²)) / 2 = (√ (2AB² + 2*64 - 36)) / 2 = (√ (2AB² + 128 - 36)) / 2 = (√ (2AB² + 92)) / 2.

2. Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1 начиная от вершины.

2.1. OA/OK = 2/1;

OA + OK = AK.

Получим систему уравнений:

OA/OK = 2/1;

OA + OK = (√ (2AB² + 8)) / 2.

Во втором уравнении выразим OK:

OK = (√ (2AB² + 8)) / 2 - OA.

Подставим выражение в первое уравнение:

OA / ((√ (2AB² + 8)) / 2 - OA) = 2/1;

2 ((√ (2AB² + 8)) / 2 - OA) = OA (по пропорции);

√ (2AB² + 8) - 2OA = OA;

3OA = √ (2AB² + 8);

OA = (√ (2AB² + 8)) / 3.

2.2. OB/OM = 2/1;

OB + OM = BM.

Получим систему уравнений:

OB/OM = 2/1;

OB + OM = (√ (2AB² + 92)) / 2.

Во втором уравнении выразим OM:

OM = (√ (2AB² + 92)) / 2 - OB.

Подставим выражение в первое уравнение:

OB / ((√ (2AB² + 92)) / 2 - OB) = 2/1;

2 (√ (2AB² + 92) / 2 - OB) = OB (по пропорции);

√ (2AB² + 92) - 2OB = OB;

3OB = √ (2AB² + 92);

OB = (√ (2AB² + 92)) / 3.

3. Рассмотрим △AOB: ∠AOB = 90° (так как медианы перпендикулярны), OA = (√ (2AB² + 8)) / 3 и OB = (√ (2AB² + 92)) / 3 - катеты, AB - гипотенуза (так как лежи напротив прямого угла).

По теореме Пифагора:

AB = √ (OA² + OB²);

AB = √ (((√ (2AB² + 8)) / 3) ² + ((√ (2AB² + 92)) / 3) ²);

AB = √ ((2AB² + 8) / 9 + (2AB² + 92) / 9);

AB = √ ((2AB² + 8 + 2AB² + 92) / 9);

AB = √ ((4AB² + 100) / 9) (возведем обе части уравнения в квадрат);

AB² = (√ ((4AB² + 100) / 9)) ²;

(4AB² + 100) / 9 = AB²;

9AB² = 4AB² + 100 (по пропорции);

9AB² - 4AB² = 100;

5AB² = 100;

AB² = 100/5;

AB² = 20;

AB = √20;

AB = 2√5 см.

Ответ: AB = 2√5 см.