1. Найдите площадь четырехугольника, если его диагонали взаимно перпендикулярны, а их длины равны 12 и 8. 2. Длины проекций катетов прямоугольного треугольника на гипотенузу равны 12 и 15. Найдите длину меньшего катета этого треугольника.

1) Пусть диагонали d1 = 12; d2 = 8. При таком расположении диагоналей в четырёхугольнике площадь s = (d1 * d2) / 2 = 12 * 8/2 = 48 (кв. ед).

2) Пусть катеты равны а; в, гипотенуза с, а проекции катетов с (а) = 12; с (в) = 15.

Ясно, что с (а) + с (в) = с = 12 + 15 = 27.

Рассмотрим подобные треугольники:

1) треугольник: катет - с (а), гипотенуза - а;

2) треугольник: катет - а; гипотенуза - с (а) + с (в) = с.

Составим пропорцию меньшего катета к гипотенузе:

с (а) / а = а/с, откуда а^2 = с (а) * с = 12 * (12 + 15) = 12 * 27, откуда а = √ (12 * 27) = 18.