Отрезок AB длиной 12 см разделен точками M и N на три равные части. Проекция отрезка MN на луч AC равна 2 см. Найдите косинус угла BAC

По условию задачи:

|AM| = |MN| = |NB| = 4;

Пусть K; L; C - проекции точек M; N и B на луч AC. Тогда:

Из прямоугольного треугольника NAL: |AL| = |AN| * cos (BAC);

Из прямоугольного треугольника MAK: |AK| = |AM| * cos (BAC);

Вычитая из первого равенства второе, получаем:

|AL| - |AK| = |AN| * cos (BAC) - |AM| * cos (BAC) = (|AN| - |AM|) * cos (BAC) = |MN| * cos (BAC);

Учитывая, что по условию задачи:

|AL| - |AK| = |KL| = 2;

получаем:

2 = 4 * cos (BAC);

cos (BAC) = 1/2;

Ответ: косинус угла BAC равен 1/2.

Возьмем угол величиной α с вершиной в точке А. На одной из сторон этого угла возьмем точку B, и внутри получившегося отрезка AB отметим точки M и N так, чтобы они делили этот отрезок на три равные части:

|AM| = |MN| = |NB| = 1/3 * |AB|;

Проведем перпендикуляры MK, NL и BD из точек M, N и B к другой стороне угла, на луч AC. По условию задачи:

|AB| = 12 (см);

и проекция KL отрезка MN равна 2 см:

|KL| = 2 (см);

Заметим, что точки K, L и D лежат на луче AC. В задаче требуется вычислить косинус угла BAC или cosα.

Подобие треугольников

Рассмотрим три треугольника - MKA, NLA и BDA. Эти треугольники:

являются прямоугольными, т. к. MK ⊥ AK, NL ⊥ AL и BD ⊥ AD, и ∠MKA = ∠NLA = ∠BDA = 90°; имеют общий одинаковый угол α = ∠MAK = ∠NAL = ∠BAD; имеют равные по величине третьи углы ∠KMA = ∠LNA = ∠DBA = 90° - α.

Таким образом, поскольку все три угла этих треугольников равны, то они подобны, и, значит:

|BA| / |DA| = |NA| / |LA| = |MA| / |KA|;

Вычисление cosα

Как известно, отношение катета к гипотенузе равняется косинусу угла между ними. Соответственно, для треугольников MKA и NLA получаем:

|LA| / |NA| = cosα;

|KA| / |MA| = cosα;

Далее имеем:

|LA| = |NA| * cosα;

|KA| = |MA| * cosα;

Вычитая из первого равенства второе, получаем:

|LA| - |KA| = (|NA| - |MA|) * cosα;

или

|KL| = |MN| * cosα;

По условию задачи:

|MN| = 1/3 * |AB| = 1/3 * 12 = 4 (см);

|KL| = 2 (см);

Подставляя эти значения, находим косинус требуемого угла:

cosα = | KL| / |MN| = 2 / 4 = 1/2;

Ответ: косинус угла BAC равен 1/2.