Основание пирамиды - квадрат со стороной, равной 3. Каждая боковая грань наклонена к плоскости основания под одним и тем, же углом, тангенс которого равен 4/3. найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Так как в основании пирамиды SABCD квадрат (AB = BC = CD = AD = 3), то эта пирамида правильная четырехугольная. В четырехугольной пирамиде все боковые грани - равные равнобедренные треугольники.

1. Из вершины пирамиды S проведем высоту SO. Высота правильной четырехугольной пирамиды падает в центр вписанной и описанной окружностей.

Из вершины S проведем высоту боковой грани △ASB - апофему SH.

Рассмотрим △SOH: ∠SOH = 90°, tg∠SHO = 4/3, SO и OH - катеты, SH - гипотенуза.

В прямоугольном треугольнике тангенсом острого угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему, тогда:

tg∠SHO = SO/OH.

OH - радиус окружности, вписанной в квадрат. Радиус окружности, вписанной в квадрат равен:

r = a/2,

где a - длина стороны квадрата.

Тогда:

OH = 3/2 = 1,5.

Таким образом:

SO/1,5 = 4/3;

SO = 1,5*4 / 3 (по пропорции);

SO = 6/3;

SO = 2.

2. По теореме Пифагора найдем длину SH:

SH = √ (SO² + OH²) = √ (2² + 1,5²) = √ (4 + 2,25) = √6,25 = 2,5.

3. Найдем площадь боковой грани △ASB:

S = ah/2,

где a - длина стороны треугольника, h - длина высоты, проведенной к стороне a.

a = AB = 3 (по условию), h = SH = 2,5:

S△ASB = 3*2,5 / 2 = 7,5 / 2 = 3,75.

4. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна сумме площадей всех боковых граней пирамиды. Так как все боковые грани пирамиды SABCD равные треугольники, то площадь боковой поверхности равна:

Sбок. = 4*S△ASB = 4*3,75 = 15.

Ответ: Sбок. = 15.