С точки до плоскости проведены две наклонные длиной 4 см и 6 см и перпендикуляр. Проекции наклонных относятся как 2 к 3 (2:3). Вычислите длину перпендикуляра и проекции меньшей из наклонных.

Из точки А к плоскости проведены наклонные АВ = 4 см и АС = 6 см и перпендикуляр АН. Проекция наклонной АВ ВН относится к проекции наклонной АС СН как 2/3, то есть:

ВН/СН = 2/3.

1. Треугольники АНВ и АНС - прямоугольные. В треугольнике АНВ:

АН = √ (АВ^2 - BH^2) (по теореме Пифагора).

В треугольнике АНС:

АН = √ (АС^2 - СН^2) (по теореме Пифагора).

Тогда справедливо равенство:

√ (АВ^2 - BH^2) = √ (АС^2 - СН^2);

АВ^2 - BH^2 = АС^2 - СН^2;

4^2 - BH^2 = 6^2 - СН^2;

16 - BH^2 = 36 - СН^2;

- BH^2 = 36 - 16 - СН^2;

BH^2 = СН^2 - 20;

ВН = √ (СН^2 - 20).

Данное выражение подставим в равенство ВН/СН = 2/3:

√ (СН^2 - 20) / СН = 2/3;

(СН^2 - 20) / СН^2 = 4/9;

9 СН^2 - 180 = 4 СН^2;

5 СН^2 = 180;

СН^2 = 180/5;

СН^2 = 36;

СН = √36;

СН = 6 см.

Найдем длину ВН:

ВН = √ (6^2 - 20) = √ (36 - 20) = √16 = 4 (см).

ВН = 4 см - проекция меньшей наклонной АВ.

2. Найдем длину перпендикуляра АН:

АН = √ (4^2 - 4^2) = √ (16 - 16) = √0 = 0 (см).

Так как в треугольниках АНВ и АНС длины катетов ВН и СН равны длинам гипотенуз АВ и АС соответственно, а катет АН = 0, то эти треугольники вырожденные.

Ответ: ВН = 4 см, АН = 0 см.