Доказать что площадь квадрата вписанного в окружность больше площади прямоугольника вписанного в ту же окружность?

Так как любой прямоугольник, вписанный в окружность, имеет следующее свойство: диагонали его равны диаметру окружности d = 2 * r, а площадь s = d * d/2 * sin (< a), где < а - угол между диагоналями.

Для простого прямоугольника:

s1 = d^2/2 * (sin a), где sin a < 1 для произвольного прямоугольника, кроме квадрата. (1)

Для квадрата: s2 = d^2/2 * sin a = d^2/2 * sin 90° = d^2/2 * 1 = d^2/2. (2). Сравнивая формулы (1) и (2) сделаем вывод, что площадь квадрата всегда больше площади прямоугольника.