Точка O-середина стороны AB квадрата ABCD. Радиус окружности, описанной около треугольника AOC, равен √10. Вычислите периметр квадрата.

1. Так как ABCD квадрат, то AB = BC = CD = AD = a.

По условию точка O - середина стороны AB ⇒ OA = OB = AB/2 = a/2.

Из прямоугольного △OBC найдем гипотенузу OC по теореме Пифагора:

OC = √ (OB² + BC²) = √ ((a/2) ² + a²) = √ (a²/4 + a²) = √ ((a² + 4 * a²) / 4) = √ ((5 * a²) / 4) = a√5/2.

Из прямоугольного △ABC найдем гипотенузу AC по теореме Пифагора:

AC = √ (AB² + BC²) = √ (a² + a²) = √ (2 * a²) = a√2.

1. Площадь треугольника можно найти по формуле:

S = (a * b * c) / (4 * R),

где a, b и c - длины сторон треугольника, R - длина радиуса описанной окружности.

Найдем площадь △AOC:

S = (OA * OC * AC) / (4 * R) = (a/2 * a√5/2 * a√2) / (4 * √10) = (a³√10) / 4 : (4 * √10) = (a³√10) / 4 * 1 / (4 * √10) = a³/16.

1. Площадь треугольника можно найти по формуле:

S = (a * h) / 2,

где a - длина стороны треугольника, h - длина высоты, проведенной к стороне a.

Найдем площадь △AOC:

S = (OA * BC) / 2 = (a/2 * a) / 2 = a²/4.

1. Таким образом:

a³/16 = a²/4;

a³/16 - a²/4 = 0;

a³/16 - (4 * a²) / 16 = 0;

(a³ - 4 * a²) / 16 = 0;

a³ - 4 * a² = 0;

a² * (a - 4) = 0;

a - 4 = 0;

a = 4.

1. Периметр квадрата равен:

P = a + a + a + a = 4 * a = 4 * 4 = 16.

Ответ: P = 16.