Через точку пересечения диагоналей квадрата MNPQ (точку О) проведен перпендикуляр OD к его плоскости. OD=8 см MN=12 см. Вычислите: а) расстояние от точки D до прямой NP б) площади треугольника MDN и его проекции на плоскости квадрата в) расстояние между прямыми OD и MN

В соответствии с данными условия задачи мы получили правильную четырёхугольную пирамиду DMNPQ

а) Расстояние от точки D до прямой NP обозначим DH. Это апофема данной пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник DOH, в нём известны два катета: OD = 8 см - высота пирамиды, ОН - половина стороны пирамиды.

DH = √ (OD² + OH²) = √ (64 + 36) = √100 = 10 (см).

б) Треугольник MDN - равнобедренный, основание треугольника - сторона квадрата, высота из вершины равнобедренного треугольника - апофема данной пирамиды.

Находим площадь по формуле:

S _MDN = 1/2 * a * h = 1/2 * 12 * 10 = 60 (см²).

Проекция треугольника MDN на плоскость квадрата - это треугольник MON, его площадь равна четвертой части площади квадрата:

S _MON = 1/4 * a² = 1/4 * 12² = 1/4 * 144 = 36 (см²).

в) Расстояние между прямыми OD и MN - это перпендикуляр, длина которого равна половине стороны квадрата, т. е. 6 см.

Ответ: а) 10 см. б) 60 см² и 36 см². в) 6 см.