Из точки а к окружности проведены две касательные ав и ас, радиус окружности равен 7 см, длина отрезка ав составляет 24 см. Чему равна хорда ВС?

К окружности с центром в точке О проведены касательные AB и AC. OB = OC = 7 см - радиусы, AB = AC = 24 см (так как отрезки касательных, проведенные к окружности из одной точки, равны и составляют равные углы с отрезком, соединяющим эту точку и центр окружности: ∠BAO = ∠CAO = ∠A/2), OA и BC пересекаются в точке H.

1. Треугольники ABO и ACO равны по трем сторонам: OB = OC = 7 см, AB = AC = 24 см, OA - общая сторона.

∠OBA = ∠OCA = 90°, так как радиусы, проведенные в точки касания перпендикулярны касательным.

По теореме Пифагора:

OA = √ (OB² + AB²);

OA = √ (7² + 24²) = √ (49 + 576) = √625 = 25 (см).

2. Так как AH по сути является биссектрисой равнобедренного △BAC, проведенной к основанию BC, то AH - и биссектриса, и медиана, и высота (∠AHB = 90°).

Таким образом, △ABO ∽ △AHB и △ACO ∽ △AHC. Рассмотрим △ABO ∽ △AHB:

AB/AH = OB/BH = OA/AB;

24/AH = 7/BH = 25/24;

7/BH = 25/24;

BH = 7*24 / 25 (по пропорции);

BH = 6,72 см.

3. Так как AH является медианой △BAC, то точка H делит BC на два равных отрезка:

BH = CH = BC/2.

Таким образом:

BC/2 = BH;

BC/2 = 6,72;

BC = 2*6,72 = 13,44 (см).

Ответ: BC = 13,44 см.