В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С внешний Угол при вершине А равен 120, АС+АВ=18 см. Найти AC и AB

Внешний угол при вершине А - угол BAD = 120 градусов. Углы BAD и ВАС (угол А) - смежные, вместе они составляют развернутый угол, который равен 180 градусов. Тогда:

угол BAD + угол ВАС = 180 градусов;

120 + угол ВАС = 180;

угол ВАС = 180 - 120;

угол ВАС = 60 градусов.

В треугольнике АВС угол С = 90 градусов (по условию), угол А = угол ВАС = 60 градусов. Тогда по теореме о сумме углов треугольника угол В равен:

угол А + угол В + угол С = 180 градусов;

60 + угол В + 90 = 180;

угол В = 180 - 150;

угол В = 30 градусов.

Катет АС лежит напротив угла равного 30 градусов, поэтому АС равен половине гипотенузы:

АС = АВ/2.

Составим систему уравнений:

АС = АВ/2;

АС + АВ = 18.

Подставим значение АС из первого уравнения во второе:

АВ/2 + АВ = 18;

(АВ + 2 АВ) / 2 = 18;

3 АВ/2 = 18;

3 АВ = 36;

АВ = 36/3;

АВ = 12 см.

Полученное значение АВ подставим в первое уравнение системы уравнений:

АС = АВ/2;

АС = 12/2;

АС = 6 см.

Ответ: АС = 6 см, АВ = 12 см.