Клетчатый тетрадный лист состоит из 30 * 40 клеток. Сколько есть способов вырезать из него по клеточкам прямоугольник? (Например, вырезать 1 * 1 есть 1200 способов.)

Для решения этой задачи рассмотрим, какими способами мы сможем разрезать клетчатый тетрадный лист.

Способы разрезать лист

Тетрадный лист имеет 30 клеток по горизонтали и 40 по вертикали, тогда примем:

n = 30 - число клеток по горизонтали; m = 40 - число клеток по вертикали; n * m = 30 * 40 - клеток, содержит тетрадный лист.

Чтобы выделить прямоугольник нужно провести 4 прямые: 2 вертикальные и 2 горизонтальные. Количество способов провести пару вертикальных прямых равно:

N = n (n + 1) / 2;

Действительно, первую прямую можно провести n + 1 способом, вторую n способами, но при этом каждую пару прямых мы посчитаем дважды: мы можем сначала провести первую прямую, потом вторую, а можем сначала вторую, потом первую.

Аналогично, количество способов провести пару горизонтальных прямых равно:

M = m (m + 1) / 2.

Следовательно, число способов вырезать прямоугольник равно: N * M;

Расчет количества способов вырезать прямоугольник

Количество способов вырезать прямоугольник будет:

N * M = n (n + 1) / 2 * m (m + 1) / 2 =

= nm (n + 1) (m + 1) / 4 = 30 · 40 · 31 · 41 / 4 = 381300;

Ответ: Количество способов вырезать по клеточкам прямоугольник равно 381300.