Какие две фигуры называют равными?

Признаки равенства фигур

Геометрические фигуры считаются равными, если они являются точной копией друг друга, то есть должны выполняться следующие условия:

фигуры имеют одинаковую форму; у фигур одинаковые размеры; существует такое наложение (движение) одной фигуры на другую, что они совпадают во всех своих точках.

Что значит одинакова форма фигур

Говоря о форме фигуре, подразумевается в первую очередь класс геометрических фигур, а так же количество углов, направление выпуклостей (вогнутостей) и прочие визуальные детали контура плоской фигуры.

Например, овал и прямоугольник имеют явно различную форму. А если взять фигуры одного класса, допустим 2 треугольника, то нужно сравнить элементы, составляющие контур. В данном случае речь идет об углах и сторонах. Так, если у одного треугольника есть прямой угол, а у другого нет, то сразу заметно - они имеют различную форму. Если длины трех сторон одного треугольника не сильно отличаются друг от друга, а у другого одна сторона значительно больше двух других, мы тоже с первого взгляда заметим, что их формы различны.

Почему важно совпадение размеров фигур

Что, если отличия в размерах визуально мало заметны? Тогда необходимо произвести точные замеры обоих фигур. Также равенство размеров разделяет понятия подобных и равных фигур. К примеру, 2 квадрата с разной площадью будут подобными, но не равными (имеется ввиду, когда один больше другого).

Что понимается под "наложением" фигур друг на друга

Иногда сделать точные замеры сложно. Особенно, если фигура образована замкнутой произвольной кривой или ломаной линией. Тогда нужно найти способ, чтобы наложить одну фигуру на другую.

Так, если они нарисованы на листе бумаги, нужно вырезать одну из них точно по контуру и положить поверх другой. Можно ее поворачивать в любом направлении и даже переворачивать. Если найдется способ совместить эти фигуры так, чтобы они совпали точно по контурам, значит они равны.

Всегда ли можно доказать равенство фигур

Иногда сделать это не возможно. Например, если речь идет о прямых. Все они бесконечны. То же касается и лучей.

Равными называются такие фигуры, которые можно совместить, воспользовавшись каким-либо видом движения (центральная и осевая симметрия, поворот и параллельный перенос).

В таких фигурах все стороны и углы соответственно равны.

Например, если даны треугольники ABC и A₁B₁C₁, то они равны в том случае, если соблюдается равенство сторон (AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁) и углов (угол A = угол A₁, угол B = угол B₁, угол C = угол C₁).

Также в равных фигурах равны и соответствующие точки и линии. Например, в тех же равных треугольниках ABC и A₁B₁C₁ будут равны биссектрисы, медианы, высоты, радиусы вписанной и описанной окружностей, центроиды и т. д.