В трапеции ABCD, биссектриса угла BAD проходит через точку М которая является серединой CD. Известно, что АВ=5, АМ=4. Найдите длину отрезка ВМ

1. Из точки M проведем линию KM, параллельную основаниям AD и BC. Так как KM параллельна AD и BC и точка M является серединой стороны CD, то справедливо предположить, что KM является средней линией трапеции ABCD, тогда:

AK = BK = AB/2 = 5/2 = 2,5.

2. Проведем биссектрису AM. Так как KM и AD параллельны, то AM является секущей, пересекающей две параллельные прямые, тогда ∠MAD = ∠KMA как накрест лежащие.

Так как AM биссектриса, то ∠MAD = ∠KAM.

Таким образом, в △AKM ∠KAM = ∠KMA ⇒ △AKM равнобедренный: AK = KM = 2,5.

3. В △AKM проведем высоту KH. Так как △AKM равнобедренный, то KH является и высотой, и медианой, и биссектрисой.

Значит, AH = MH = AM/2 = 4/2 = 2.

По теореме Пифагора из △AHK:

KH = √ (AK² - AH²) = √ ((2,5) ² - 2²) = √ (6,25 - 4) = √2,25 = 1,5.

4. Рассмотрим △BAM: так как отрезок KH соединяет середины сторон AB и AM, то он является средней линией треугольника.

Средняя линия треугольника отсекает от исходного треугольника треугольник, подобный ему.

Таким образом:

AB/AK = BM/KH;

5/2,5 = BM/1,5;

BM = (5 * 1,5) / 2,5 (по пропорции);

BM = 3.

Ответ: BM = 3.