В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС биссектриса угла BAD проходит через середину М стороны CD. Известно, что АВ = 5, АМ = 4. Найдите длину отрезка ВМ.

1. Проведем отрезок KM, параллельный основаниям трапеции. Так как KM и основания AD и BC параллельны, а точка M является серединой CD, то KM - средняя линия трапеции ABCD ⇒:

AK = BK = AB/2 = 5/2 = 2,5.

2. Биссектриса AM является секущей, пересекающей две параллельные прямые KM и AD ⇒ ∠MAD = ∠KMA как накрест лежащие.

AM делит ∠BAD на два равных угла, тогда ∠MAD = ∠BAM (он же ∠KAM) ⇒ в △AKM ∠KAM = ∠KMA ⇒ △AKM равнобедренный: AK = KM = 2,5.

3. KH - высота △AKM, проведенная к основанию. Так как △AKM равнобедренный, то KH является и высотой, и медианой, и биссектрисой ⇒ AH = MH = AM/2 = 4/2 = 2.

По теореме Пифагора из △AHK:

KH = √ (AK² - AH²) = √ ((2,5) ² - 2²) = √ (6,25 - 4) = √2,25 = 1,5.

4. Из △BAM: KH - средняя линия △BAM, так как он соединяет середины сторон AB и AM.

Средняя линия треугольника отсекает от исходного треугольника треугольник, подобный ему ⇒:

AB/AK = BM/KH;

5/2,5 = BM/1,5;

BM = (5 * 1,5) / 2,5 (по пропорции);

BM = 3.

Ответ: BM = 3.