Основание треугольника равно 26. Медианы его боковых сторон равны 30 и 39. Найти площадь этого треугольника.

Question

Всеволод Степанов

Геометрия

22 февраля, 04:19

Основание треугольника равно 26. Медианы его боковых сторон равны 30 и 39. Найти площадь этого треугольника.

+4

Ответы (1)

Знаешь ответ на этот вопрос?

Zhokei · Answer 1

Дан △ABC: AC = 26, AM = 30 и CK = 39 - медианы, проведенные к сторонам BC и AB, соответственно.

1. Длина медианы треугольника, находится по формуле:

m = (√ (2 * a² + 2 * b² - c²)) / 2,

где c - сторона, к которой проведена медиана, a и b - другие стороны треугольника.

Тогда:

AM = (√ (2 * AB² + 2 * AC² - BC²)) / 2;

CK = (√ (2 * AC² + 2 * BC² - AB²)) / 2.

Подставим данные по условию значения:

(√ (2 * AB² + 2 * 26² - BC²)) / 2 = 30;

(√ (2 * 26² + 2 * BC² - AB²)) / 2 = 39.

Обозначим AB как x, а BC как y и получим систему уравнений с двумя переменными:

(√ (2 * x² + 1352 - y²)) / 2 = 30;

(√ (1352 + 2 * y² - x²)) / 2 = 39.

2. Решим систему уравнений. В первом уравнении выразим y:

(√ (2 * x² + 1352 - y²)) / 2 = 30;

√ (2 * x² + 1352 - y²) = 60;

2 * x² + 1352 - y² = 3600;

- y² = 3600 - 2 * x² - 1352;

y² = 2 * x² - 2248;

y = √ (2 * x² - 2248).

Полученное выражение подставим во второе уравнение:

(√ (1352 + 2 * (2 * x² - 2248) - x²)) / 2 = 39;

√ (1352 + 2 * 2 * x² - 2 * 2248 - x²) = 78;

4 * x² - x² - 4496 + 1352 = 6084;

3 * x² = 6084 + 3144;

3 * x² = 9228;

x² = 9228/3;

x² = 3076;

x = √3076.

Найдем y:

y = √ (2 * 3076 - 2248) = √ (6152 - 2248) = √3904.

Таким образом, стороны △ABC равны:

AB = √3076;

BC = √3904;

AC = 26.

3. Найдем площадь △ABC по формуле Герона:

S = √ (p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),

где p - полупериметр.

Полупериметр:

p = (AB + BC + AC) / 2 = (√3076 + √3904 + 26) / 2.

Найдем площадь △ABC:

S = √ ((√3076 + √3904 + 26) / 2 * ((√3076 + √3904 + 26) / 2 - √3076) * ((√3076 + √3904 + 26) / 2 - √3904) * ((√3076 + √3904 + 26) / 2 - 26)) = √ ((√3076 + √3904 + 26) / 2 * (√3076 + √3904 + 26 - 2 * √3076) / 2 * (√3076 + √3904 + 26 - 2 * √3904) / 2 * (√3076 + √3904 + 26 - 52) / 2) = √ ((√3076 + √3904 + 26) / 2 * ( - √3076 + √3904 + 26) / 2 * (√3076 - √3904 + 26) / 2 * (√3076 + √3904 - 26) / 2) = √ ((3904 + 52√3904 + 676 - 3076) / 4 * (3076 - 676 + 52√3904 - 3904) / 4) = √ ((52√3904 + 1504) / 4 * (52√3904 - 1504) / 4) = √ ((13√3904 + 376) * (13√3904 - 376)) = √ (659776 - 141376) = √518400 = 720.

Ответ: S = 720.