Длина основание треугольника равна 14, а медианы, приведённые к боковым сторонам, равны три корень из семи и шесть корень из семи. Найдите длины боковых сторон этого треугольника.

Треугольник АВС: АС = 14, АМ = 3√7 - медиана стороны ВС, СЕ = 6√7 - медиана стороны АВ.

Длина медианы треугольника вычисляется по формуле:

m = √ (2b^2 + 2c^2 - a^2) / 2,

где а - сторона, к которой проведена медиана, b и c - другие стороны.

1. Выразим медианы АМ и СЕ через формулу:

АМ = √ (2AB^2 + 2AC^2 - BC^2) / 2;

СЕ = √ (2AС^2 + 2 ВC^2 - АВ^2) / 2.

Подставим значения, данные по условию:

√ (2AB^2 + 2*14^2 - BC^2) / 2 = 3√7;

√ (2*14^2 + 2 ВC^2 - АВ^2) / 2 = 6√7.

Совершим действия:

√ (2AB^2 + 392 - BC^2) / 2 = 3√7;

√ (392 + 2 ВC^2 - АВ^2) / 2 = 6√7.

2. Пусть АВ = х, ВС = у, тогда получим систему уравнений с двумя неизвестными:

√ (2 х^2 + 392 - у^2) / 2 = 3√7;

√ (392 + 2 у^2 - х^2) / 2 = 6√7.

3. В первом уравнении выразим у^2 через х^2:

√ (2 х^2 + 392 - у^2) = 2*3√7 (по пропорции);

√ (2 х^2 + 392 - у^2) = 6√7 (возведем обе части уравнения в квадрат);

(√ (2 х^2 + 392 - у^2)) ^2 = (6√7) ^2;

2 х^2 + 392 - у^2 = 36*7;

- у^2 = 252 - 2 х^2 - 392;

- у^2 = - 140 - 2 х^2;

у^2 = 140 + 2 х^2.

4. Полученное выражение подставим во второе уравнение системы:

√ (392 + 2 (140 + 2 х^2) - х^2) / 2 = 6√7.

Решим уравнение с одной неизвестной:

√ (392 + 280 + 4 х^2 - х^2) / 2 = 6√7;

√ (672 + 3 х^2) = 2*6√7;

√ (672 + 3 х^2) = 12√7 (возведем обе части уравнения в квадрат);

(√ (672 + 3 х^2)) ^2 = (12√7) ^2;

672 + 3 х^2 = 144*7;

3 х^2 = 1008 - 672;

3 х^2 = 336;

х^2 = 336/3;

х^2 = 112;

х = √112;

х = 4√7.

Таким образом, АВ = 4√7.

5. Полученное значение х подставим в выражение у^2:

у^2 = 140 + 2 (4√7) ^2;

у^2 = 140 + 2*112;

у^2 = 140 + 224;

у^2 = 364;

у = √364;

у = 2√91.

Таким образом, ВС = 2√91.

Ответ: АВ = 4√7, ВС = 2√91.