1. Докажите, что высоты проведенные из вершин острых углов равнобедренного тупоугольно треугольника, равны. 2. Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

1) Пусть дан треугольник АВС, <В - тупой, тогда углы <А = <С - острые. Проведём высоты АН и СН1, докажем АН = СН1.

Треугольники АНС и АСН1 равны, по признаку равенства сторон и углов. Сторона АС у них общая, углы <АНС = <СН1 А = 90 (так как это высоты); углы <ВАС = <ВСА, как углы при основании АС. По 2 угла равны, значит и углы <СН1 А = <АНС

Стороны АН = СН1, как стороны против равных углов <СН1 А = <АНС.

2) Для доказательства продлим медиану ВМ дальше, ВМ = МД. Получим параллелограмм АВСД, так как АМ = МС (медиана), ВМ = МД (по построению). В прямоугольнике диагонали равны, АС = ВД, АМ = МС, делятся пополам.