в ромб со стороной 25 вписана окружность радиуса 12. найдите длину большей диагонали ромба

Известно, что диаметр вписанной в ромб окружности равен его высоте. Найдем высоту ромба:

h = 2r = 2 * 12 = 24.

Площадь ромба равна произведению длины его стороны на высоту:

S = a * h = 25 * 24 = 600.

С другой стороны, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

S = D₁ * D₂ / 2.

Пусть d₁ и d₂ - половины диагоналей D₁ и D₂, тогда D₂ = 2 * d₂ и D₁ = 2 * d₁, где D₁ - меньшая диагональ, D₂ - большая диагональ. Выразим площадь ромба через половины диагоналей:

S = D₁ * D₂ / 2 = 2 * d₁ * 2 * d₂ / 2 = 2 * d₁ * d₂.

Для прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей и стороной ромба, можем записать:

d₁² + d₂² = a².

Имеем систему уравнений:

1) d₁² + d₂² = a² = 25² = 625;

2) 2 * d₁ * d₂ = S = 600.

Складывая левые и правые части уравнений, получаем:

d₁² + d₂² + 2 * d₁ * d₂ = 625 + 600;

(d₁ + d₂) ² = 1225;

d₁ + d₂ = √1225 = 35.

Вычитая из первого уравнения системы второе, получаем:

d₁² + d₂² - 2 * d₁ * d₂ = 625 - 600;

(d₂ - d₁) ² = 25;

d₂ - d₁ = √25 = 5.

Таким образом, получаем новую систему:

1) d₁ + d₂ = 35;

2) d₂ - d₁ = 5.

Складывая левые и правые части, имеем:

d₁ + d₂ + d₂ - d₁ = 35 + 5;

2 * d₂ = 40;

D₂ = 40 - большая диагональ ромба.