В ромб вписана окружность радиуса r. Найдите площадь ромба, если его большая диагональ равна 4r

Пусть сторона ромба а, большая диагональ d₁, мегьшая диагональ d₂, высота ромба - h.

Известно, что высота ромба равна диаметру вписанной в него окружности, значит:

h = 2r.

По условию, d₁ = 4r.

Площадь ромба можно найти следующими способами:

1) Как произведение стороны ромба на высоту:

S = a * h = a * 2r.

2) Как половину произведения диагоналей:

S = 0,5 * d₁ * d₂ = 0,5 * 4r * d₂ = 2r * d₂.

Приравнивая эти два выражения, получаем:

a * 2r = 2r * d₂;

а = d₂.

Диагонали ромба перпендикулярны друг другу и в точке пересечения делятся пополам. Для прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей и стороной ромба, можем записать:

a² = (d₁ / 2) ² + (d₂ / 2) ² = (2r) ² + (a / 2) ² = 4r² + a² / 4;

3a² = 16r²;

a² = 16r² / 3;

a = 4r / √3.

Площадь ромба: S = a * h = 4r * 2r / √3 = 8r² / √3.