В равностороннем треугольнике: 1) дана сторона а, найдите медиану m 2) дана медиана m, найдите сторону

Пусть в данном равностороннем треугольнике АВС проведена медиана АМ.

1) Рассмотрим треугольник АМС.

Так как во всяком равностороннем треугольнике его медиана является одновременно и его высотой, то угол АМС является прямым.

Так как отрезок АМ является медианой данного треугольника, то точка М делит отрезок ВС пополам и |АМ| = |ВС| / 2 = а/2.

Следовательно, прямоугольном треугольнике АМС гипотенуза АС имеет длину а, катет ВС имеет длину а/2.

Используя теорему Пифагора, находим катет СМ:

m = |CM| = √ (a^2 - (a/2) ^2) = √ (a^2 - a^2/4) = √ (3a^2/4) = a√3/2.

Ответ: a√3/2.

2) Зная медиану m, можем составить следующее уравнение:

m^2 = a^2 - (a/2) ^2

решая которое, получаем:

m^2 = 3a^2/4;

a^2 = 4m^2/3;

a = √ (4m^2/3) = 2m/√3 = 2√3m/3.

Ответ: 2√3m/3.