В трапеции ABCD (AD и BC - основания) диагонали пересекаются в точке O, AD=12 см, BC=4 см. Найдите площадь треугольника BOC, если площадь треугольника AOD равна 45 см²

Возьмем трапецию ABCD с основаниями AD и BC, |AD| > |BC|, и боковыми сторонами AB и CD. По условию задачи:

|AD| = a = 12 см;

|BC| = b = 4 см;

Точка О является пересечением диагоналей АС и BD. Площадь S треугольника AOD равна 45 см². В задаче требуется вычислить площадь треугольника BOC.

Подобие треугольников

В произвольной трапеции треугольники AOD и BOC подобны. Действительно:

Углы ∠AOD и ∠BOC равны, т. к. являются вертикальными; Углы ∠ODA и ∠OBC равны, т. к. являются накрест лежащими при пересечении параллельных прямых AD и BC диагональю BD; Углы ∠OAD и ∠OCB равны, т. к. являются накрест лежащими при пересечении параллельных прямых AD и BC диагональю AC;

Таким образом, треугольники AOD и BOC подобны, т. к. их внутренние углы равны. Коэффициент подобия k этих треугольников равен:

k = |AD| / |BC| = a / b = 12 / 4 = 3

Вычисление площади треугольника BOC

Как известно, если два треугольника подобны с коэффициентом подобия k, то их площади относятся как k². Таким образом, площадь S треугольника AOD относится к площади S₁треугольника BOC как:

S / S1 = k² = 9;

Далее получаем:

S1 = S / 9;

S1 = 45 / 9 = 5;

Ответ: площадь треугольника BOC равна 5 см².

Углы ВОС и AOD равны, т. к. они являются вертикальными. Углы ВСА и САD равны как накрест лежащие при пересечении параллельных оснований трапеции ВС и AD секущей АС. Следовательно, треугольники ВОС и AOD подобны и их сходственные стороны пропорциональны. Отношение длин сходственных сторон равно коэффициенту подобия:

k = AD / BC = 12 / 4 = 3 - коэффициент подобия треугольников ВОС и AOD.

Известно, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату их коэффициента подобия, т. е. SAOD / SBOC = k2. Отсюда, площадь треугольника BOC SBOC = SAOD / k2 = 45 / 32 = 45 / 9 = 5 см2.