В прямоугольный треугольник вписали круг. Точка соприкосновения делит один из катетов на отрезки длинною 3 см и 9 см, начиная от вершины прямого угла. Найдите другой катет и гипотенузу

Предположим, что треугольник - АВС.

Тогда, С - прямой угол, а точки соприкосновения со стороной АС мы назовем К, а со стороной СВ - М.

Можно заметить, что АС=АК+КС=9+3=12 см.

Также заметим, что СКОМ - это квадрат, потому что ОК перпендикулярно АС, так как АС - касательная к вписанной окружности.

С - прямой угол по условию задачи.

ОМ перпендикулярно СВ, так как СВ - касательная к вписанной окружности.

На оставшийся угол КОМ остается 90 градусов - по свойству сумм углов четырехугольника.

Сумма углов четырехугольника равна 360 градусам.

3 известных угла - прямые, значит на четвертый угол КОМ остается 360-3*90=360-270=90 градусов.

Мы можем заметить, что СК=ОК=3 см.

Это значит, что длина радиуса вписанной окружности равна 3 см. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

S=0,5AC*CB=0,5*12*CB=6CB

С другой стороны S=p*r, где r - радиус вписанной окружности, р - полупериметр.

Значит, S=3*p.

S=3*0,5 * (AC+CB+AB)

S=3*0,5 * (12+CB+AB)

По теореме Пифагора:

AB=√AC в квадрате+CB в квадрате=√12 в квадрате+СB в квадрате = √144+CB в квадрате

Значит, найдем площадь по-другому:

S=3*0,5 * (12+CB+√144+CB в квадрате)

Приравняем правые части уравнений.

Найдем катет СВ.

6CB=3*0,5 * (12+CB+√144+CB в квадрате)

Сократим обе части на 3:

2CB=0,5 * (12+CB+√144+CB в квадрате)

Умножим обе части на 2:

4CB=12+CB+√144+CB в квадрате

4CB-12-CB=√144+CB в квадрате

3CB-12=√144+CB в квадрате

Возведем обе части в квадрат:

9CB в квадрате-72CB+144=144+CB в квадрате

Сократим обе части на слагаемое 144:

9CB в квадрате-72CB=CB в квадрате

Перенесем все в одну часть:

9CB в квадрате-72CB-CB в квадрате=0

8CB в квадрате-72CB=0

Сократим обе части на 8:

CB в квадрате-9CB=0

CB * (CB-9) = 0

Первый ответ СВ=0 - не подходит по смыслу задачи.

Второй ответ СВ=9 см - подойдет.

Гипотенузу вычислим по той же теореме Пифагора:

AB=√144+CB в квадрате

AB=√144+9 в квадрате

AB=√144+81

AB=√225

AB=√15 в квадрате

AB=15 см

Ответ: Неизвестный катет равен 9 см, а гипотенуза равна 15 см.