В прямоугольном треугольнике точка лежащая на гипотенузе и равноудалённая от катетов делит гипотенузу на отрезки 3 и 4. Найдите высоту проведённую из вершины прямого угла?

Обозначим данный по условию треугольник АВС, угол С - прямой. Равноудалённая от катетов точка - точка О, она лежит на биссектрисе угла С. АО = 3, ВО = 4 По свойству биссектрисы угла записываем отношение:

АС / ВС = АО / ВО = 3/4.

Вводим коэффициент пропорциональности х и получаем: АС = 3 х, ВС = 4 х.

По теореме Пифагора имеем:

АВ² = AC² + BC² = 9x² + 16x² = 25x² = 7² = 49;

25x² = 49

x² = 49/25

x = 7/5 = 1,4.

AC = 3 * 1,4 = 4,2;

ВС = 4 * 1,4 = 5,6.

Находим площадь треугольника АВС:

S _ABC = 1/2 * AC * BC = 1/2 * 4,2 * 5,6 = 11,76.

S _ABC = 1/2 * AB * h = 1/2 * 7 * h = 11,76.

h = 11,76 / 3,5 = 3,36.

Ответ: высота равна 3,36.