Точки М и Р лежат по одну сторону от прямой b. Перпендикуляры MN и PQ, проведенные к прямой b, равны. Точка О - середина отрезка NQ. а) Докажите, что ∠OMP = ∠OPM; б) найдите ∠NOM, если ∠MOP = 105°.

Давайте разбираться с данной задачей.

Дано:

MN⊥b

PQ⊥b

MN=PQ

NO=OQ

∠MOP=105°

Доказать:

∠ОМР=∠ОРМ

∠NOM-?

Доказываю:

Рассмотрим △POQ b △HON

MN=PQ

NO=OQ

∠N=∠O=90° - по условию

Тогда △MON=△POQ - по первому признаку.

Следовательно, ∠1=∠2

ОМ=ОР

Тогда △МОР - равнобедренный, откуда ∠ОМР=∠ОРМ.

∠1+∠МОР+∠2=180° - развернутый угол, то есть ∠1+105°+∠2=180°

∠1+∠2=75°, но ∠1=∠2, значит ∠1=∠2=37°30'

Значит ∠NOM=37°30'