Треугольники ABC и ADC расположены по одну сторону от прямой AC. Известно, что AB=CD, AD=CB, M - середина AC. Докажите, что треугольник BMD - равнобедренный.

Возьмем отрезок АC принадлежащий прямой (AC). Эта прямая делит плоскость на две полуплоскости. Пусть точки B и D лежат в одной полуплоскости. Соединим точки В и D с точками А и C. Получится два треугольника - ABC и ADC. По условию задачи:

|AB| = |CD|;

|AD| = |CB|;

Проведем далее отрезок BC, и пусть точка M является серединой отрезка АC. Требуется доказать, что треугольник BMD является равнобедренным.

Для этого:

докажем равенство треугольников ABC и ADC; покажем, что BD || AC; установим равенство отрезков MB и MD. Равенство треугольников ABC и ADC

Как известно, если стороны одного треугольника попарно равны сторонам другого треугольника, то сами эти треугольники также равны друг другу. В нашем случае, применительно к треугольникам ABC и ADC, имеем:

|AB| = |CD|;

|AD| = |CB|;

по условию задачи и третья сторона АС является общей, т. е. одинаковой в обоих треугольниках. Это означает, что ∆ABC = ∆ADC, и высоты и медианы, проведенные из вершин B и D этих треугольников к стороне АС, также являются равными. Соответственно, точки B и D равноудалены от прямой (АС), и:

(BD) || (AC);

Заметим, что четырехугольник ABDC является равнобедренной трапецией.

Свойства треугольника BMD

Треугольник является равнобедренным, если две его стороны равны. Заметим, что в ∆ABC отрезок BM является медианой. В треугольнике ADC отрезок DM также является медианой. Соответственно:

|BM| = |DM|;

Получаем, что в ∆ВMD стороны BM и MD равны. Следовательно, ∆ВMD - равнобедренный, что и требовалось доказать.