В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла А опущена высота АН на гипотенузу ВС. Если СН=9/корень из 13, а ВН=4/корень из 13, то площадь треугольника АВС равна ...

Высота есть среднее геометрическое двух образованных ею сегментов гипотенузы, то есть:

АН^2 = CH*BH;

АН^2 = 9/√13 * 4/√13 = 36/13;

АН = √ (36/13) = 6/√13.

1. Рассмотрим треугольник АНВ: угол АНВ = 90 градусов (так как АН - высота), АВ - гипотенуза (так как лежит напротив угла 90 градусов), ВН = 4/√13 и АН = 6/√13 - катеты. По теореме Пифагора найдем гипотенузу АВ:

АВ = √ (BH^2 + AH^2);

АВ = √ ((4/√13) ^2 + (6/√13) ^2) = √ (16/13 + 36/13) = √ (52/13) = √4 = 2.

2. Рассмотрим треугольник АНС: угол АНС = 90 градусов (так как АН - высота), АС - гипотенуза (так как лежит напротив угла 90 градусов), СН = 9/√13 и АН = 6/√13 - катеты. По теореме Пифагора найдем гипотенузу АС:

АС = √ (СH^2 + AH^2);

АВ = √ ((9/√13) ^2 + (6/√13) ^2) = √ (81/13 + 36/13) = √ (117/13) = √9 = 3.

3. Площадь прямоугольного треугольника:

S = ab / 2,

где a и b - катеты.

S = АВ*АС / 2;

S = 2*3 / 2 = 6/2 = 3.

Ответ: S = 3.