Катет прямоугольного треугольника равен 12 см, а его проекция на гипотенузу - 8 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть АВС - прямоугольный треугольник, данный по условию, АВ и АС = 12 см - катеты, ВС - гипотенуза.

Проведем из вершины А к гипотенузе вершину АН. Отрезок ВН - это проекция катета АВ на гипотенузу, а отрезок НС = 8 см - проекция катета АС на гипотенузу.

Рассмотрим треугольник АНС: АС = 12 см - гипотенуза (так как лежит против угла АНС, который равен 90 градусов, так как АН - высота, то есть перпендикуляр, опущенный к ВС), НС = 8 см - катет.

Каждый катет треугольника - среднее геометрическое гипотенузы и проекции катета на гипотенузу, то есть:

AC^2 = ВС * НС;

12^2 = ВС * 8;

8 ВС = 144;

ВС = 18 см.

В треугольнике АВС известны гипотенуза ВС = 18 см, катет АС = 12 см. Найдем второй катет АВ по теореме Пифагора:

AB = √ (BC^2 - AC^2);

AB = √ (18^2 - 12^2) = √ (324 - 144) = √180 = 6√5 (см).

Площадь треугольника АВС равна половине произведения его катетов:

S = (AB*AC) / 2;

S = (6√5*12) / 2 = 36√5 (см квадратных).

Ответ: S = 36√5 см квадратных.