В равнобедренный трехугольник A B C с основанием A C вписона окружность. Она касается стороны B C в точке K. Найдите радиус окружности, если B K = 2, C K=8.

Пусть окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его стороны АВ в точке Т, ВС в точке К, АС в точке Н. Так как АВС - равнобедренный треугольник, то АВ = ВС, тогда АТ = СК = 8, ТВ = ВК = 2.

Одно из свойств касательных: отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны. Тогда: отрезки АТ и АН равны, а также равны отрезки СК и СН.

Сторона АС равна:

АС = АН + НС;

АС = 8 + 8 = 16.

Радиус вписанной окружности равен:

r = S/p,

где S - площадь треугольника, р - полупериметр треугольника.

Полупериметр:

р = (АВ + ВС + АС) / 2;

р = (8+2+2+8+16) / 2 = 36/2 = 18.

Площадь треугольника АВС:

S = √p (p - a) (p - b) (p - c) = √18 (18 - 10) (18 - 10) (18 - 16) = √18*8*8*2 = √2304 = 48.

Радиус вписанной окружности равен:

r = 48/18 = 8/3 = 2 целых 2/3.

Ответ: r = 2 целых 2/3.