Равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC описана около окружности. Сторона CD касается этой окружности в точке Q, a отрезок AQ пересекает окружность в точке P. Найти радиус окружности, если известно, что AP=2, PQ=7

Отрезок AQ - секущая окружности, а AN - касательная. По теореме о секущей и касательной:

AN^2 = AP * AQ = AP * (AP + PQ) = 2 * 9 = 18.

AN = √18.

Пусть L - точка касания основания AD с окружностью. Но по свойству трапеции, в которую вписана окружность, и учитывая, что трапеция равнобедренная, то AN = AL = LD = QD = √18.

Рассмотрим треугольник AQD, AD = 2AL = 2√18, AQ = AP + PQ = 9.

Значит, по теореме косинусов:

Cos (AQD) = (AD^2 + AQ^2 - QD^2) / (2*AD*AQ) = (4*18 + 81 - 18) / (2*2√18*9) = 5 / (4√2).

α = arcos (5 / (4√2).

По свойству касательной, касательная перпендикулярна к радиусу.

CD - касательная, значит радиус с касательной имеют 90 градусов,

OQD = 90 градусов,

а угол β = OQP = 90 - α.

Тогда из треугольника POQ, где PO = OQ = r радиусы, PQ = 7.

По теореме косинусов:

r^2 = 7^2 + r^2 - 2*7*r * cosγ = 49 + r^2 - 14 * r * cosγ, угол γ = угол POQ = 180 - 2*β.

14 * r * cosγ = 49.

r = 7 / (2*cosγ) = 7 / (2*cos (180 - 2 * (90 - arcos (5 / (4√2))) = 7 / (2*cos (arcos (5 / (4√2))) = 7 / (2 * (5 / (4√2)) = 7 / (5 / (2√2)) = (14√2) / 5.

Радиус окружности равен r = (14√2) / 5 = 2,8*√2.