Одна и биссектрис треугольника равна 10 см и длеится точкой пересечения биссетрис в отношении 3:2, считая от вершины. Найдите длину стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена.

Дано:

Треугольник АВС. ВО/ОМ = 3/2. ВМ = 10.

Решение:

В треугольнике ВМС биссектриса ОС, тогда ВС/МС = ВО/ОМ=3/2. В треугольнике АВС биссектриса ВМ, тогда МС/ВС = АМ/АВ = 2/3.

АВ/ВС = АМ/МС = 2/3.

МС^2 = ВС^2 + ВМ^2 - 2 * ВС * ВМ * cosА (По т. косинусов)

Х^2 = (3/2 * Х) ^2 + 100 - 2 * (3/2 * Х) * 10 * cosA;

cosA = (5/4 * Х^2 + 100) / 30 * Х.

АМ^2 = АВ^2 + ВМ^2 - 2 * АВ * ВМ * cosA (По т. косинусов)

(2/3 * Х) ^2 = Х^2 + 100 - 2 * Х * 10 * cosA;

cosA = (5/9 * Х^2 + 100) / 20 * Х.

Приравниваем выражения косинусов.

Х = 2 корня из 30.

АВ = 2 корня из 30.

АМ = 2/3 * АВ = (4/3) корня из 30.

ВС = 3/2 * АВ = 3 корня из 30,

МС = 2/3 * ВС = 2 корня из 30.

АС = АМ + МС = (10/3) * корень из 30. (cosA - это косинус половинs угла В)