Угол между высотой и боковой стороной равнобедреного треугольника на 15 градусов меньше угла при его основании найдите углы треугольника

Возьмем равнобедренный треугольник ABC. В задаче требуется найти величины всех его углов: угла ∠ABC = ∠B при вершине B и углов ∠BAC = ∠А и ∠BCA = ∠C при основании AC. Проведем в треугольнике ABC высоту BD из вершины B к основанию AC.

Вычисление углов треугольника ABD

Сумма углов произвольного треугольника равна 180°. Для треугольника ABD:

∠А + ∠АBD + ∠BDA = 180°;

Высота BD перпендикулярна AC, и:

∠BDA = 90°;

Получаем:

∠А + ∠АBD + 90° = 180°;

∠А + ∠АBD = 90°;

По условию задачи угол ∠ABD между высотой BD и боковой стороной AB на 15° меньше угла при основании ∠А:

∠ABD = ∠A - 15°;

Подставляя это выражение в предыдущее уравнение, имеем:

∠А + (∠A - 15°) = 90°;

2 * ∠А - 15° = 90°;

2 * ∠А = 105°;

∠А = 52,5°;

Соответственно:

∠ABD = ∠A - 15° = 52,5° - 15° = 37,5°.

Вычисление внутренних углов треугольника ABC

Заметим, что произвольный равнобедренный треугольник, а значит, и наш ABC, обладает свойствами:

длины боковых сторон AB и BC равны друг другу, │AB│ = │BC│; углы при основании AC равны между собой, ∠ А = ∠ C; высота BD, опущенная из вершины B, является и биссектрисой угла ∠ B, и медианой, проведенной к AC.

Один угол при основании ∠А = 52,5°. Соответственно, второй угол при основании ∠C равен ему:

∠C = ∠А = 52,5°;

Угол при вершине ∠B можно найти двумя способами. С одной стороны:

∠А + ∠B + ∠C = 180°;

52,5° + ∠B + 52,5° = 180°;

∠B = 75°.

С другой стороны, учитывая, что BD - биссектриса угла B, получаем тот же результат:

∠B = 2 * ∠ABD = 2 * 37,5° = 75°.

Ответ: ∠А = ∠C = 52,5°; ∠B = 75°.

Дан △ABC: AB = BC, ∠A = ∠C, BH - и высота, и медиана, и биссектриса, проведенные из вершины равнобедренного треугольника к его основанию.

1. Рассмотрим △AHB: ∠AHB = 90° (так как BH - высота).

Обозначим ∠BAH (он же ∠A) как x, тогда ∠ABH (угол между высотой BH и стороной AB) равен x - 15°.

По теореме о сумме углов треугольника:

∠AHB + ∠BAH + ∠ABH = 180°;

90° + x + x - 15° = 180°;

2 * x = 180° - 90° + 15°;

2 * x = 105°;

x = 105°/2;

x = 52,5°.

Таким образом, ∠A = ∠C = 52,5°.

2. Так как BH - биссектриса, то ∠ABH = ∠CBH = ∠B/2.

Таким образом:

x - 15° = ∠B/2;

∠B = 2 * (x - 15°) = 2 * (52,5° - 15°) = 2 * 37,5° = 75°.

Ответ: ∠A = ∠C = 52,5°, ∠B = 75°.