Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, O1-точка пересечения диагоналей A1B1C1D1. Разложить вектор AO по векторам AD, AB, AA1

Решение.

Пусть дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, где O₁ - точка пересечения диагоналей верхнего основания A₁B₁C₁D₁. Чтобы разложить вектор AO₁ по векторам AD, AB, AA₁ построим О - точку пересечения диагоналей нижнего основания ABCD. Она является проекцией точки O₁ на нижнее основание. Вектор АО равен вектору ½ ∙ АС, а вектор АС равен сумме векторов AB и АD по правилу параллелограмма, тогда вектор АО равен вектору ½ ∙ (AB + АD). В плоскости диагонального сечения АА₁С₁С вектор AO₁ равен сумме векторов АО и ОО₁, но ОО₁ = AA₁. Получаем, что

вектор AO₁ равен сумме векторов ½ ∙ (AB + АD) и AA₁ или сумме векторов ½ ∙ AB, ½ ∙ АD и AA₁.

Ответ: вектор AO₁ равен сумме векторов ½ ∙ AB, ½ ∙ АD и AA₁.