Сторона правильного четырехугольника, описанного около некоторой окружности, равна 8. Найдите площадь правильного треугольника, вписанного в эту же окружность.

Правильный четырехугольник - это квадрат, диаметр вписанной в квадрат окружности равен его стороне, следовательно радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата: r = 8 / 2 = 4.

Радиус описанной около правильного треугольника окружности можно определить по формуле:

R = a / √3.

Отсюда, сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, равна:

a = R√3 = 4√3.

Правильный треугольник является равносторонним, следовательно, имеет равные стороны и углы, каждый из которых равен 60°.

Площадь треугольника можно найти как половину произведения двух его соседних сторон на синус угла между ними:

S = 0,5 * a * a * sin 60° = 0,5 * (4√3) ² * √3 / 2 = 12√3 ≈ 20,78.