В теругольнике ABC угол B=90*, угол C = 60*, BC=2 см. На стороне AC отложена точка D так, что угол ABD=30 * a) Найдите длину отрезка AD. б) Докажите, что периметр треугольника ABC меньше 10 см.

Дано:

прямоугольный треугольник АВС,

угол В = 90*,

угол C = 60*,

BC = 2 см,

точка D принаждлежит АС,

угол ABD = 30*.

а) Найти длину отрезка AD.

б) Доказать, что периметр треугольника ABC меньше 10 см.

а) Решение:

1) Рассмотрим треугольник ВСD. Угол ВСD = угол В - угол ABD;

Угол ВСD = 90 - 30 = 60*;

угол СDА = 180 - 60 - 60 = 60*.

Следовательно треугольник ВСD - равносторонний.

ВС = СD = ВD = 2 см

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. Угол А = 180 - 90 - 60 = 30*. Тогда треугольник ВDА - равнобедренный.

ВD = DА = 2 см;

3) СА = СD + DА;

СА = 2 + 2 = 4 см;

б) По теореме Пифагора

ВD^2 = CA^2 - BC^2;

ВD^2 = 16 - 4;

ВD^2 = 12;

ВD = 2√3.

Р АВС = 2 + 4 + 2√3 = 8√3 см <10 см. Доказали.

Ответ: 4 сантиметров.