Дан прямоугольный треугольник с периметром 24, и площадью также 24. Найти все стороны.

Пусть АВС - прямоугольный треугольник, угол С - прямой, АВ - гипотенуза, АС и ВС - катеты. Пусть АС = х, ВС = у, АВ = z.

1. Периметр:

x + y + z = 24.

По теореме Пифагора:

z = √ (x^2 + y^2).

Таким образом:

x + y + √ (x^2 + y^2) = 24.

Площадь:

ху / 2 = 24.

2. Система уравнений с двумя неизвестными:

x + y + √ (x^2 + y^2) = 24;

ху / 2 = 24.

Во втором уравнении системы выразим х через у:

х = 2*24 / у;

х = 48/у.

Полученное выражение подставим в первое уравнение системы:

48/у + y + √ ((48/у) ^2 + y^2) = 24;

(48 + y^2) / y + √ (2304/у^2 + y^2) = 24;

√ ((2304 + y^4) / у^2) = 24 - (48 + y^2) / y;

(√ (2304 + y^4)) / у = (24 у - 48 - y^2) / у;

у√ (2304 + y^4) = у (24 у - 48 - y^2);

√ (2304 + y^4) = - y^2 + 24 у - 48;

(√ (2304 + y^4)) ^2 = ( - y^2 + 24 у - 48) ^2;

2304 + y^4 = y^4 - 48y^3 + 672y^2 - 2304y + 2304;

0 = - 48y^3 + 672y^2 - 2304y;

48y^3 - 672y^2 + 2304y = 0;

y^3 - 14y^2 + 48 у = 0;

y^2 - 14 у + 48 = 0.

Дискриминант:

D = (-14) ^2 - 4*1*48 = 196 - 192 = 4.

у1 = (14 + 2) / 2 = 16/2 = 8.

у1 = (14 - 2) / 2 = 12/2 = 6.

Найдем х:

х1 = 48/8 = 6;

х2 = 48/6 = 8.

Таким образом:

АС = х = 6 см;

ВС = у = 8 см.

3. Найдем z:

z = √ (x^2 + y^2) = √ (6^2 + 8^2) = √ (36 + 64) = √100 = 10.

Тогда АВ = z = 10 см.

Ответ: АС = 6 см, ВС = 8 см, АВ = 10 см.