Часть 1. 1. Какое утверждение относительно треугольника со сторонами 12,9,15 верно? а) треугольник остроугольный; б) треугольник тупоугольный; в) треугольник прямоугольный; г) такого треугольника не существует. 2. Если сходственные стороны подобных треугольников равны 2 см и 5 см, площадь первого треугольника равна 8, то площадь второго треугольника равна: а) 5; б) 40 в) 60; г) 20. 3. Если в равнобедренном треугольнике длина основания равна 12 см, а его периметр равен 32 см, то радиус окружности, вписанной в треугольник, равен:: а) 4 см; б) 3 см; в) 6 см; г) 5 см. 4. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 см и 12 см. Найдите катеты треугольника. а) 12 см и 16 см; б) 7 см и 11 см; в) 10 см и 13 см; г) 8 см и 15 см. 5. Стороны прямоугольника равны a и k. Найдите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника.

1. Треугольник с сторонами 12, 9 и 15 прямоугольный, потому что:

15^2 = 12^2 + 9^2 (теорема Пифагора);

225 = 144 + 81;

225 = 225.

Ответ: в) треугольник прямоугольный.

2. Коэффициент подобия равен:

k = a1/a2,

где а1 - сторона треугольника, а2 - сходственная (соответственная) сторона подобного треугольника.

k = 2/5.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

S1/S2 = k^2,

где S1 - площадь треугольника, S2 - площадь подобного треугольника.

8/S2 = (2/5) ^2;

8/S2 = 4/25;

S2 = 8*25 / 4;

S2 = 2*25;

S2 = 50.

Ответ: 50.

3. Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен:

r = S/p,

где S - площадь треугольника, р - полупериметр.

Полупериметр равен:

р = Р/2;

р = 32/2 = 16 см.

Найдем длину боковой стороны:

Р = а + 2b;

12 + 2b = 32;

2b = 32 - 12;

2b = 20;

b = 20/2;

b = 10 см.

Площадь треугольника равна (по формуле Герона):

S = (p - b) * √p (p - a);

S = (16 - 10) * √16 (16 - 12) = 6*√16*4 = 6√64 = 6*8 = 48 (см^2).

r = 48/16 = 3 (см).

Ответ: б) 3 см.

4. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 см и 12 см. Найдите катеты треугольника. а) 12 см и 16 см; б) 7 см и 11 см; в) 10 см и 13 см; г) 8 см и 15 см.

АВС - прямоугольный треугольник. Вписанная окружность касается гипотенузы АС в точке М, катета ВС - в точке F, катета АВ - в точке К.

1. Воспользуемся свойством отрезков касательных, которые проведены из одной точки:

АК = АМ = 5 см;

CF = СМ = 12 см;

ВК = ВF = х см.

2. АС = АМ + СМ = 5 + 12 = 17 (см);

АВ = АК + ВК = 5 + х (см);

ВС = CF + ВF = 12 + х (см).

По теореме Пифагора:

АC^2 = АВ^2 + ВС^2;

(5 + х) ^2 + (12 + х) ^2 = 17^2;

25 + 10 х + х^2 + 144 + 24 х + х^2 = 289;

2 х^2 + 34 х - 120 = 0;

х^2 + 17 х - 60 = 0.

По теореме Виета:

х1 = 3;

х2 = - 20.

х2 - не подходит по смыслу.

Тогда: ВК = ВF = х = 3 см, АВ = 5 + х = 5 + 3 = 8 (см), ВС = 12 + х = 12 + 3 = 15 (см).

Ответ: г) 8 см и 15 см.

5. Стороны прямоугольника равны a и k. Найдите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника.

Радиус прямоугольника равен:

R = √ (a^2 + k^2) / 2.