Число 12 можно записать в виде произведения простых множителей тремя способами: 12 = 2 * 2 * 3, 12 = 2 * 3 * 2, 12 = 3 * 2 * 2. А сколькими способами можно записать в виде произведения простых сомножителей число 52500?

В общем случае число различных перестановок из элементов а_n, которые повторяются по k_n раз, можно рассчитать по формуле:

(k₁ + k₂ + ... + k_n) ! / (k₁! * k₂! * ... * k_n!).

Число 52500 разлагается на множители 2 * 2 * 3 * 5 * 5 * 5 * 5 * 7.

Множители 2, 3, 5 и 7 повторяются k₁ = 2, k₂ = 1, k₃ = 4 и k₄ = 1 раз.

Число перестановок сомножителей:

(k₁ + k₂ + k₃ + k₄) ! / (k₁! * k₂! * k₃! * k₄!) =

= (2 + 1 + 4 + 1) ! / (2! * 1! * 4! * 1!) = 8! / (2! * 4!) =

= (1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8) / (1 * 2 * 1 * 2 * 3 * 4) = 840.

Ответ: число 52500 можно записать в виде простых сомножителей 840 способами.