Найдите корни уравнения cos8x+sin (3 п/2-2x) = 3sin (4 п+5x) принадлежащие промежутку [0; п/2]

Рассмотрим тригонометрическое уравнение cos (8 * x) + sin (3 * π/2 - 2 * x) = 3 * sin (4 * π + 5 * x). По требованию задания, найдём корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [0; π/2]. Прежде всего, используя формулу приведения sin (3 * π/2 - α) = - cosα и периодичность синус функции, данное уравнение перепишем в виде cos (8 * x) - cos (2 * x) = 3 * sin (5 * x). К левой части полученного уравнения применим формулу cosα - cosβ = - 2 * sin (½ * (α + β)) * sin (½ * (α - β)) (разность косинусов). Тогда, получим: - 2 * sin (½ * (8 * х + 2 * х) * sin (½ * (8 * х - 2 * х)) = 3 * sin (5 * x) или 3 * sin (5 * x) - 2 * sin (5 * x) * sin (3 * x) = 0. Выводя за скобки множитель sin (5 * x), последнее уравнение можно переписать в виде: sin (5 * x) * (3 - 2 * sin (3 * x)) = 0. Произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Однако, согласно двойному неравенству - 1 ≤ sinα ≤ 1, второй множитель не может равняться 0. Следовательно, имеем sin (5 * x) = 0. Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет следующую серию решений: 5 * x = π * n (где n ∈ Z, Z - множество целых чисел), откуда x = (π/5) * n. Теперь по требованию задания, найдём корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [0; π/2]. С этой целью решим двойное неравенство 0 ≤ (π/5) * n ≤ π/2 относительно целого неизвестного n. Умножим все (левую, среднюю и правую) части последнего двойного уравнения на 5 / π. Тогда, получим: 0 ≤ n ≤ 2,5. Очевидно, это двойное неравенство имеет следующие целые решения: n = 0, n = 1 и n = 2. Найдём соответствующие этим значениям n, решения данного уравнения: х = 0; х = π/5 и х = 2 * π/5.

Ответ: х = 0; х = π/5 и х = 2 * π/5.